Relatorio_potencias

ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO Cálculo de potências aparente, ativa, não ativa e indicadores de distorção e desbalanço, e fator de potência segundo Buchholz-Goodhue DEFINIÇÕES DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS . 4 1.2.1 Carga desbalanceada a quatro fios. 6 1.2.2 Carga desbalanceada a três fios . 8 1.3.1 Potência ativa não fundamental . 9 1.4 Potências fundamentais de sequências positiva, negativa e zero . 10 1.5 Potência aparente efetiva e a relação com os indicadores de distorção. 13 1.6 Potência aparente fundamental de desbalanço . 15 EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM UMA CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA COM DISTORÇÕES HARMÔNICAS . 18 EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM UMA CARGA TRIFÁSICA BALANCEADA SEM DISTORÇÕES HARMÔNICAS. 22 Este texto apresenta a definição da potência aparente efetiva proposta por F. Buchholz em 1922 e desenvolvida na década subsequente por W. Goodhue. São estabelecidas as expressões de cálculo de potências a partir dos valores eficazes e ângulos de fase de tensão e corrente obtidos dos seus conteúdos espectrais. São também apresentados indicadores globais de distorção harmônica de tensão e de corrente, bem como os fatores de desbalanço da carga e de tensões e as expressões de definição de fatores de potência. Ao final, são resolvidos exemplos numéricos de aplicação das expressões partindo de dados das grandezas elétricas obtidas por meio de medições ou extraídas da bibliografia. Este trabalho é um subproduto do projeto de pesquisa intitulado Projeto e Análise de Desempenho de Filtros para Terceiro Harmônico em Instalações Supridas pelo Sistema Secundário de Distribuição desenvolvido pelos professores supracitados para a CELG Distribuição S/A no intervalo de tempo compreendido de novembro de 2007 a novembro de 2010. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS As definições das grandezas elétricas aqui apresentadas são aplicáveis a um sistema elétrico trifásico desbalanceado que possui carga não linear, podendo ser particularizado a um sistema trifásico balanceado com ou sem carga não linear. Na análise de sistemas desbalanceados com distorções harmônicas, a definição para a potência aparente foi proposta por F. Buchholz em 1922 e desenvolvida por W. Goodhue em 1933. Nesses trabalhos foi proposta a definição de potência aparente efetiva (ou equivalente), designada por S . Essas definições também se aplicam a cargas trifásicas balanceadas sem harmônicos. Até hoje é a definição As tensões das fases a, b e c ( v ( t ) , v ( t ) e v ( t ) ) e as correntes de linha ( i ( t ) , i ( t ) e i ( t ) ) instantâneas são definidas através das séries trigonométricas, de acordo com as expressões (1.1.1) e (1.1.2). h: ordem harmônica (múltiplo inteiro da frequência fundamental); I , I e I : valores eficazes das componentes fundamentais da corrente (A); V , V e V : valores eficazes das componentes fundamentais da tensão (V); I , I e I : valores eficazes das componentes harmônicas da corrente (A); V , V e V : valores eficazes das componentes harmônicas da tensão (V); f : frequência da componente fundamental (60hertz); ω : frequência angular fundamental (rad/s), ω = 2πf ; β , β e β : ângulos de fase das componentes fundamentais da corrente (rad); α ,α , α , β , β e β : ângulos de fase das componentes harmônicas da tensão e da corrente (rad), respectivamente. A definição de potência aparente efetiva ( S ) tem por base uma carga trifásica equivalente resistiva balanceada fictícia que apresenta exatamente as mesmas perdas em potência de uma carga trifásica real. A carga equivalente é ajustada para permitir que a transferência de potência seja máxima, sendo suprida por um alimentador idêntico ao da carga original. No caso geral, a carga trifásica real é desbalanceada a quatro fios e é suprida com tensões linha-neutro, V , V , V , tensões linha-linha, V , V , V , e absorve correntes de linha, I , I , I e a corrente de neutro, I . A partir desses valores eficazes, são definidas a tensão efetiva linha-neutro e a corrente efetiva de linha, V e I , respectivamente, que A potência aparente efetiva em VA (volt-ampere) é definida por meio da A corrente efetiva ( I ) é relacionada ao valor eficaz da componente fundamental ( I ) e ao valor eficaz que compreende todas as componentes harmônicas ( I De modo análogo, o valor eficaz da tensão efetiva ( V ) pode ser escrito As expressões para a corrente efetiva e para a tensão efetiva, aplicáveis a cargas trifásicas reais a quatro e a três fios, decorrem das condições especificadas para o sistema trifásico equivalente balanceado para estabelecer a definição de A corrente efetiva é dada pela expressão (1.2.1.1): I + I + I + I onde, I , I , I e I são os valores eficazes das correntes das linhas a, b, c e o valor eficaz da corrente no condutor neutro, respectivamente, calculados como a Os valores eficazes da componente fundamental e das harmônicas da corrente A tensão efetiva é dada pela expressão (1.2.1.4): onde, V , V , V e V , V , V são os valores eficazes das tensões linha-neutro e os valores eficazes das tensões linha-linha, respectivamente, calculados como V , e analogamente para as demais fases e também para Os valores eficazes da componente fundamental e das harmônicas da tensão: A corrente efetiva é dada pela expressão (1.2.2.1): Os valores eficazes da componente fundamental e das harmônicas da corrente A tensão efetiva é dada pela expressão (1.2.2.4), Os valores eficazes da componente fundamental e das harmônicas da tensão Para cargas trifásicas desbalanceadas, a potência ativa é obtida pela soma das potências ativas das fases, conforme definida a seguir. P = P + P + P , (1.3.1) No cálculo da potência ativa de cada uma das fases a, b e c, é utilizada a definição de potência média, conforme mostram as expressões (1.3.2) a (1.3.4) em que as tensões v (t) , v (t) , v (t) , e as correntes i (t) , i (t) , i (t) são aquelas apresentadas em (1.1.1) e (1.1.2), respectivamente. onde, T é o período da componente fundamental da tensão. Ao computar a potência ativa são levadas em conta as contribuições das componentes fundamentais da tensão e da corrente, bem como as contribuições das harmônicas de tensão e corrente, conforme é possível visualizar na expressão (1.3.1). Entretanto, para certas análises pode ser de interesse separar a potência efetivamente consumida pela carga da potência ativa que decorre da poluição harmônica. Assim, é definida a potência ativa fundamental, simbolizada por P , através da expressão (1.3.1.1). − β ) + V I cos(α − β ) + V I cos(α − β ) (1.3.1.1) A potência ativa não fundamental, simbolizada por P , é a diferença entre a potência ativa P e a potência ativa fundamental P , conforme estabelece a P = P − P . (1.3.1.2) Se a potência ativa fundamental tem o sentido do seu fluxo originando no sistema de suprimento de 60hertz com destino na carga, a potência ativa não fundamental a partir do seu sinal pode indicar em um conjunto de cargas não lineares de qual carga originou uma ou mais harmônicas de frequências 1.4 Potências fundamentais de sequências positiva, negativa e zero O objetivo desta seção é apresentar as definições e expressões de cálculo das potência ativa fundamental de sequência positiva; potência ativa fundamental de sequência negativa; potência ativa fundamental de sequência zero; potência reativa fundamental de sequência positiva; potência reativa fundamental de sequência negativa; potência reativa fundamental de sequência zero; potência aparente fundamental de sequência positiva; potência aparente fundamental de sequência negativa. potência aparente fundamental de sequência zero. Antes de calcular as potências relacionadas é necessário determinar as tensões e as correntes de sequência positiva, de sequência negativa e de sequência zero a partir das tensões e correntes fundamentais em suas formas fasoriais. Sejam ˆ V as tensões fundamentais em módulo e fase, das fases a, b e c, respectivamente, e sejam ˆI , ˆI e ˆI as correntes em módulo e fase, na frequência fundamental, para as fases a, b e c, respectivamente. As expressões (1.4.1) a (1.4.3) são utilizadas para obter as tensões de sequência: = (V + a V + aV ) , (1.4.2) = (V + V + V ) . (1.4.3) As expressões (1.4.4) a (1.4.6) são utilizadas para obter as correntes de As tensões e as correntes de sequência, obtidas da aplicação das expressões (1.4.1) a (1.4.3) e (1.4.4) a (1.4.6), são simbolizadas a seguir, em módulo e fase: tensão de sequência positiva com módulo + tensão de sequência negativa com módulo − corrente de sequência positiva com módulo + corrente de sequência negativa com módulo − corrente de sequência zero com módulo 0 A partir das tensões e das correntes de sequência, calculam-se as potências de ∠V − ∠I ) , (1.4.10) As potências aparentes de sequência positiva, de sequência negativa e de sequência zero, na frequência fundamental, podem ser escritas em termos das potências ativa e reativa de sequência correspondente, como a seguir: S = 3V I = (P ) + (Q ) , (1.4.13) S = 3V I = (P ) + (Q ) , (1.4.14) S = 3V I = (P ) + (Q ) . (1.4.15) É oportuno salientar que a potência ativa fundamental (vide (1.3.1.1)) do circuito trifásico ou da carga considerada é igual à soma das potências ativas fundamentais de sequência, conforme (1.4.16). P = P + P + P . (1.4.16) Analogamente, para a potência reativa fundamental, vale a expressão (1.4.17). Q = Q + Q + Q . (1.4.17) Consequentemente, a potência aparente fundamental pode ser calculada com a S = (P ) + (Q ) . (1.4.18) 1.5 Potência aparente efetiva e a relação com os indicadores de distorção As distorções harmônicas totais da tensão e da corrente efetivas são definidas nesta seção através de procedimentos análogos àqueles feitos para sistemas monofásicos. Também é mostrada a relação das componentes de potências Combinando as expressões (1.2.1), (1.2.2) e (1.2.3) é possível mostrar que a potência aparente efetiva pode ser expressa em termos da potência aparente efetiva fundamental ( S ) e da potência aparente efetiva não fundamental ( S S = S + S , (1.5.1) As componentes da potência aparente efetiva não fundamental ( S : é a potência de distorção de corrente; = 3V I : é a potência de distorção de tensão; Nas expressões mostradas anteriormente, os valores eficazes das correntes equivalentes (ou efetivas), I e I , são calculados pelas expressões (1.2.1.2) e (1.2.1.3), respectivamente. Analogamente, os valores eficazes das tensões , são calculados pelas expressões (1.2.1.5) e (1.2.1.6), As distorções harmônicas totais de tensão e de corrente são definidas como a – distorção harmônica efetiva total de tensão: – distorção harmônica efetiva total de corrente: Partindo da expressão (1.5.1), a potência aparente efetiva não fundamental é calculada a partir dos indicadores globais de distorção: = DTT + DTI + [(DTT )(DTI )] , (1.5.4) A relação (1.5.4) é interessante porque, por meio da razão de duas potências , ela engloba em um mesmo indicador as distorções harmônicas da tensão e da corrente, conforme é reescrita a seguir. = DTT + DTI + [(DTT )(DTI )] . (1.5.5) no cálculo da potência aparente efetiva não fundamental é admitida: 1.6 Potência aparente fundamental de desbalanço Para avaliar o desbalanço da carga, é definida a potência aparente fundamental de desbalanço, designada pelo símbolo S . onde, S é a potência aparente efetiva fundamental e + fundamental de sequência positiva (vide (1.4.1.13)). O fator de desbalanço da carga para a frequência fundamental é dado pela Vale ressaltar que a potência aparente fundamental de desbalanço permite avaliar o desbalanço da carga, enquanto que o desbalanço das tensões para a frequência fundamental é determinado pela razão entre tensões de sequência negativa e de sequência positiva, conforme a expressão (1.6.3). Para cargas trifásicas desbalanceadas com ou sem distorções harmônicas, o fator de potência efetivo é definido conforme a expressão (1.7.1). P : potência ativa expressa em W, tal que P = P + P + P ; S : potência aparente efetiva em VA, tal que S = V Vale ressaltar que o fator de potência definido por (1.7.1) representa o índice de utilização do circuito de transmissão considerando tanto o desbalanço da carga É definido, também, para cargas trifásicas desbalanceadas, o fator de potência fundamental de sequência positiva, conforme a expressão (1.7.2). potência ativa fundamental de sequência positiva expressa S : potência aparente fundamental de sequência positiva, A tabela 1.7.1 apresenta um sumário das potências e dos indicadores para sistemas trifásicos desbalanceados com ondas senoidais com distorções Tabela 1.7.1: Sumário das potências e indicadores para sistemas trifásicos EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM UMA CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA COM O objetivo deste exemplo é mostrar a aplicação das definições estabelecidas no capítulo precedente a um sistema trifásico desbalanceado com ondas de tensão e Os dados são praticamente os mesmos publicados na versão-tentativa de 2000 da IEEE Std 1459, que são similares aos que seriam coletados por medição se fosse empregado um analisador de qualidade de energia elétrica nos terminais de uma carga trifásica suprida por um sistema a quatro fios. Esses dados são Tabela 2.1: Tensões e correntes nos terminais de uma carga trifásica não linear Calculam-se primeiramente as correntes efetivas pela aplicação das expressões (1.2.1.1), (1.2.1.2) e (1.2.1.3), obtendo-se: As tensões efetivas são obtidas aplicando-se as expressões (1.2.1.4), (1.2.1.5) e A potência aparente efetiva é calculada com o emprego da expressão (1.2.1): As expressões de cálculo das potências ativas das fases estão em função dos ângulos α e β que são apresentados na tabela 2.2 obtidos a partir dos dados da tabela 2.1 e de acordo com a notação estabelecida em (1.1.1) e (1.1.2). Tabela 2.2: Ângulos αah, αbh, αch e βah, βbh, βch referentes às tensões e às As potências ativas das fases e a total são obtidas com a aplicação de (1.3.1): A potência ativa fundamental P é igual a 41,81kW e a potência ativa não fundamental P é igual a –0,11kW, calculadas com as expressões (1.3.1.1) e Para calcular a tensão fundamental de sequência positiva e a corrente fundamental de sequência positiva será necessário lidar com os fasores das grandezas tensão e corrente na frequência fundamental, os quais estão mostrados Tabela 2.3: Tensões e correntes expressas na forma fasorial 18,79∟125,20 24,2∟–49,190 45,8∟–167,90 40,58∟41,890 A tensão fundamental de sequência positiva é obtida com o emprego de (1.4.1): A corrente fundamental de sequência positiva é obtida usando (1.4.4): Utilizando-se dos fasores tensão e corrente calculados anteriormente, a potência ativa fundamental de sequência positiva e a potência reativa fundamental de sequência positiva são obtidas com as expressões (1.4.7) e (1.4.8), A partir dos valores eficazes da tensão e da corrente calculados anteriormente, obtém-se com a expressão (1.4.13) a potência aparente fundamental de A potência aparente efetiva fundamental (expressão (1.5.1)) vale Se1 = 87,55kVA. A potência efetiva não fundamental resulta em SeN = 70,91kVA e as potências de distorção D e D , resultam em 69,76kvar e 9,97kvar. A potência As distorções harmônicas totais, DTT e DTI , em porcentagem são iguais a 11,39% e 79,70%, respectivamente (expressões (1.5.2) e (1.5.3)). Através da expressão (1.6.1) é possível calcular a potência aparente fundamental a 1,78, indica um considerável desbalanço da carga. O fator de potência efetivo é obtido com o uso de (1.7.1) e resulta em: O fator de potência fundamental de sequência positiva é calculado usando a Observa-se, por comparação dos resultados dos fatores de potência FP e que as distorções harmônicas e o desbalanço têm influência decisiva nos valores EXEMPLO NUMÉRICO DE CÁLCULO DE POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM UMA CARGA TRIFÁSICA BALANCEADA SEM O objetivo deste exemplo é mostrar que as definições estabelecidas no capítulo intitulado Definições de Potência e Fator de Potência para Circuitos Trifásicos Desbalanceados também se aplicam a sistemas trifásicos balanceados com ondas de tensão e corrente livre de distorções harmônicas. Os dados são similares aos que seriam obtidos a partir de medições realizadas através de um analisador de qualidade de energia elétrica nos terminais de uma carga trifásica linear. Os dados são mostrados na tabela 3.1. Tabela 3.1: Tensões e correntes da carga obtidas com o emprego de um analisador de qualidade de energia elétrica Calculam-se primeiramente as correntes efetivas pela aplicação das expressões (1.2.1.1), (1.2.1.2) e (1.2.1.3), obtendo-se: As tensões efetivas são obtidas aplicando-se as expressões (1.2.1.4), (1.2.1.5) e A potência aparente efetiva é calculada com o emprego da expressão (1.2.1): As potências ativas das fases e a total são obtidas com a aplicação de (1.3.1): A tensão fundamental de sequência positiva é obtida com o emprego de (1.4.1): A corrente fundamental de sequência positiva é obtida com o emprego de Utilizando-se dos valores eficazes da tensão e da corrente calculadas anteriormente, obtém-se com a expressão (1.4.13) a potência aparente A potência ativa fundamental de sequência positiva é obtida com a expressão A potência reativa fundamental de sequência positiva é obtida com a expressão A potência aparente efetiva fundamental (expressão (1.5.1)), S , corresponde, neste exemplo, à potência aparente efetiva, S , e as potências de distorção D e D , bem como a potência aparente harmônica, S Obviamente, as distorções harmônicas totais, DTT e DTI , são nulas uma vez que, neste exemplo, as ondas de tensão e corrente são senoidais e livre de Através da expressão (1.6.1) é possível constatar que a potência aparente O fator de potência efetivo é obtido com o uso de (1.7.1) e resulta em: O mesmo valor obtido para o fator de potência efetivo é também calculado para o fator de potência fundamental de sequência positiva através de (1.7.2): Ao concluir este exemplo em que a carga trifásica é linear e balanceada é possível afirmar que os resultados para as grandezas elétricas potência, fator de potência etc. obtidos com a utilização das definições de potência e fator de potência para o caso generalizado são idênticos aos que seriam obtidos empregando-se expressões usuais da teoria convencional de circuitos elétricos. 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Source: http://www.eeec.ufg.br/harm/arquivos/relatorio_potencias.pdf